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합리적 선택과 뉴컴의 역설
합리적 선택이란? 우리는 살면서 여러 가지 선택의 기로에 놓이게 된다. 친구들과 만나 점심 메뉴를 고르거나, 방학 동안 아르바이트를 할지 안 할지 정하거나, 시험을 일주일 앞두고 자습 시간에 게임 한 판을 할지 고민하거나. 그럴 때 가장 좋은 방법은 ‘최대의 효용’을 얻을 수 있는 선택 을 하는 것이다. 정확히는 효용에서 비용을 뺀 값이 극대화되는 선택이다. 보통 경제학에서는 이를 합리적 선택이라 하며, 이 개념은 시장 내에서 각 개인의 행동을 유추하는 데에 유용하게 사용되고 있다. 물론 합리적 선택의 정의가 무엇인지...
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자연수의 거듭제곱 합의 기하학적 증명
자연수의 거듭제곱 합의 기하학적 증명 고등학교를 졸업한 사람이라면 학교에서 아래의 공식을 본적이 있을 것이다. 세 가지 공식은 위에서부터 1부터 $n$까지 자연수의 합, 자연수의 제곱의 합, 자연수의 세제곱의 합이다. 이 글은 아래의 세 가지 공식들을 기하학적으로 증명해 보이는 것을 목표로 한다. \[\begin{align} \sum_{k=1}^{n}{k}&=\frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^{n}{k^2}&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \sum_{k=1}^{n}{k^3}&=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{align}\] 대수적 증명 방법 기하학적 증명에 앞서 대수적으로 증명하는 방법부터 간단히 설명하겠다. (1) 자연수의 합 \[\begin{align} \sum_{k=1}^{n}{k}&=1+2+3+\cdots+(n-2)+(n-1)+n \\ \sum_{k=1}^{n}{k}&=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+3+2+1 \\ 2\sum_{k=1}^{n}{k}&=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1) \\ \end{align} \\ \therefore\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}\] 자연수의 합과...
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상수
상수란 무엇일까? 상수(常數, constant)란 수식에서 변하지 않는 값을 뜻한다. 우리는 이 상수를 다양한 분야에서 접할 수 있다. 상수에 개념에 대해 자세히 알아보기 위해 아래에 있는 예시를 살펴보자. 반지름이 $2cm$인 쇠 구슬을 하나 만든다고 가정해보자. 이때, 필요한 재료의 부피 $V$는 $r^3$에 비례하므로 비례식 $V∝r^3$을 얻을 수 있다. 이제 이 비례식을 이용하여 쇠 구슬을 만드는데 필요한 재료의 부피를 구해보자. 재료의 부피를 구한 사람도 있겠지만, 위 비례식만을 이용해서는 부피를 구할 수 없다. 우리가 위 식을 보고 알 수...
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오일러-라그랑주 방정식 (1)
(이 글은 고민우, 유정우가 진행하는 시리즈 글입니다.) 먼저 오일러의 변분법에서의 오일러 방정식을 살펴봅시다. 오일러 라그랑주 방정식은 오일러 방정식의 일부 특수한 함수의 적용사례라고 생각하시면 편할 것 같습니다. 어떤 범함수 $J$가 존재한다고 합시다. 먼저 범함수는 어떤 함수를 입력받으면 어떤 스칼라값을 내놓는 함수를 말합니다. 저희는 그 범함수 $J$를 다음과 같이 정의해줍시다. (여기서 $y^\prime$은 $x$에 대한 $y$의 순간변화율을 의미합니다.) \(J = \int_{x_1}^{x^2}f(x,y,y^\prime)dx\) 즉, $x$와 $y$와 $y’$을 변수로 가지는 어떤 함수 $f$에 대한 범함수 $J$를 정의해 준 것이죠. 그리고 저희의...
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우리 약속 하나 합시다
수학에서는 많은 것을 증명합니다. 기존에 증명된 것을 통해서 말이죠. 그러면 기존의 증명된 것들은 더 이전에 것들을 통해서 증명되었음을 알 수 있습니다. 그렇게 계속 올라가다 보면 끝이 있을 것입니다. 그 끝, 증명할 수 없는 약속을 우리는 공리라고 합니다. 그리고 그것들을 바탕으로 명제를 풀어나가게 됩니다. 그 명제들 중 증명된 것들을 정리라고 합니다. 그럼 명제는 무엇일까요? 명제는 논리학적으로 뜻이 분명한 문장으로 참 또는 거짓임을 논리적 과정을 통해 구분할 수 있는 문장을 말합니다. 위에서 공리들이 여러 개 모인 집합을...