자연수의 거듭제곱 합의 기하학적 증명
고등학교를 졸업한 사람이라면 학교에서 아래의 공식을 본적이 있을 것이다. 세 가지 공식은 위에서부터 1부터 $n$까지 자연수의 합, 자연수의 제곱의 합, 자연수의 세제곱의 합이다. 이 글은 아래의 세 가지 공식들을 기하학적으로 증명해 보이는 것을 목표로 한다.
\[\begin{align} \sum_{k=1}^{n}{k}&=\frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^{n}{k^2}&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \sum_{k=1}^{n}{k^3}&=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{align}\]대수적 증명 방법
기하학적 증명에 앞서 대수적으로 증명하는 방법부터 간단히 설명하겠다.
(1) 자연수의 합
\[\begin{align} \sum_{k=1}^{n}{k}&=1+2+3+\cdots+(n-2)+(n-1)+n \\ \sum_{k=1}^{n}{k}&=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+3+2+1 \\ 2\sum_{k=1}^{n}{k}&=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1) \\ \end{align} \\ \therefore\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}\] 자연수의 합과 그것을 뒤집은 것을 더하면 $n+1$을 $n$개 더한 것이다.
(2) 자연수의 제곱의 합
\[\begin{align} (x+1)^3-x^3&=&3x^2+3x+1 \\ (1+1)^3-1^3&=&3\cdot1^2+3\cdot1+1\\ (2+1)^3-2^3&=&3\cdot2^2+3\cdot2+1\\ (3+1)^3-3^3&=&3\cdot3^2+3\cdot3+1\\ &\text{ }\text{ }\vdots&\\ (n+1)^3-n^3&=&3n^2+3n+1\\ \end{align} \\ \rule{20em}{.4pt} \\ n^3+3n^2+3n = 3\sum_{k=1}^{n}{k^2} +3\sum_{k=1}^{n}{k} + n\\ \therefore\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\] 자연수의 제곱의 합을 구하기 위해서는 먼저 맨 위의 항등식에 1부터 $n$까지 대입한 식을 변변 더한다. (1)의 자연수의 합 공식을 대입한 뒤, 식을 정리한다.
(3) 자연수의 세제곱의 합
\[\begin{align} (x+1)^4-x^4&=4x^3+6x^2+4x+1\\ (n+1)^4-1^4&=4\sum_{k=1}^{n}{k^3}+6\sum_{k=1}^{n}{k^2}+4\sum_{k=1}^{n}{k}+n\\ \end{align} \\ \sum_{k=1}^{n}{k^3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\] 자연수의 세제곱의 합을 증명하기 위해서는 자연수의 거듭제곱의 합을 증명할때 쓴 식과 비슷한 꼴의 사차 항등식을 사용한다. 1부터 $n$까지 대입한 뒤, 변변 더하고 정리하면 두번째 식이 나오고, 앞에서 구한 공식들을 대입한 뒤, 식을 정리하면 위의 공식이 나온다.
(4) 자연수의 거듭제곱의 합
자연수의 거듭제곱의 합 공식은 세제곱까지만 흔히 알려져있다. 위에서 자연수의 제곱과 세제곱의 합 공식을 구하는 과정을 자세히 봤다면 더 높은 차원의 공식도 쉽게 구할 수 있을 것이다. 더 높은 차수의 합을 구하는 방법은 다음과 같다.
- $n+1$차 다항식인 $(x+1)^{n+1}-x^{n+1}$을 이용한 항등식을 세운다.
- 이에 1부터 $n$까지 대입한 뒤, 변변 더한다.
주의할 점은 자연수의 $n$ 거듭제곱의 합을 구하기 위해 자연수의 1,2,$\cdots$,$n-1$승의 합을 모두 알고 있어야 한다는 것이다.
기하학적 증명 방법
\[\begin{align} \sum_{k=1}^{n}{k}&=\frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^{n}{k^2}&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \sum_{k=1}^{n}{k^3}&=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{align}\] 이러한 공식이 유도되는 과정은 앞서 자세히 설명하였다. 하지만 그러한 대수적인 증명 방식은 어떻게 그런 공식이 도출되는지에 대한 직관적인 이해를 제공하지는 않는다.
비단 자연수의 거듭제곱 합 공식 유도라는 주제뿐만 아니라, 수학의 많은 부분에서 직관적인 이해를 돕는 방법은 기하학적인 과정으로 증명하는 것이다. 자연수의 합, 자연수의 제곱의 합, 자연수의 세제곱의 합에 대한 기하학적 증명 방법을 보이겠다. 위에서 대수적 증명을 보고도 완벽하게 이해되지 않았거나 받아들여지지 않았던 부분이 해결될 것이다.
(1)자연수의 합
위의 그림에서 빨간색 부분은 공을 1개 부터 $n$개까지 순서대로 아래로 붙인 것이고, 회색은 그것을 반대로 뒤집은 것이다. 가로의 길이는 $n$이고, 세로의 길이는 $n+1$이다. 구하려는 값은 그림에 있는 공의 개수의 절반이므로 1부터 n까지 자연수의 합은 $n(n+1)\over2$이다.
(2)자연수의 제곱의 합
하나의 조각은 ‘$1^2$부터 $n^2$까지의 합’이다. 위의 과정처럼 동일한 세개의 조각을 적절히 돌려서 붙이고 자르면 직육면체가 만들어진다. 직육면체의 부피는 $n(n+1)(n+{1\over2})={n(n+1)(2n+1)\over2}$이다. 구하는 것은 한조각의 부피이므로 3으로 나누면 $n(n+1)(2n+1)\over6$이다.
(3)자연수의 세제곱의 합
먼저 그림을 잘 살펴보아라. 한 종류의 색은 $1^3$부터 $n^3$까지의 합($n=4$인 경우)이다. $1^3$부터 $n^3$까지의 합까지 나타낸 정사각형에 넓이 합이 $(n+1)^3$인 정사각형들을 붙일 때를 살펴보면, 기존의 정사각형의 한 변의 길이는 $n(n+1)$이고 한 변의 길이가 $n+1$인 정사각형 $n$개를 붙일 수 있다. 네 변에 모두 붙인 후 꼭짓점을 한 변의 길이가 $n+1$인 정사각형으로 채우면 된다. 그러므로 한 변의 길이가 $n$인 정사각형들까지 붙였을 때, 전체 도형의 넓이는 $\left(n(n+1)\right)^2$이고, 4로 나누면 $\left({n(n+1)\over2}\right)^2$이다.
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이 글에서는 자연수의 세제곱의 합 까지만 설명했지만, 더 높은 차수의 공식을 유도해보고 기하학적 증명 방법을 찾아본다면 도움이 될 것이다. 자연수의 거듭제곱의 합을 구하는 간단한 공식이나 정수, 실수 체계에서의 합도 고민해 보길 바란다.