수학에서는 많은 것을 증명합니다. 기존에 증명된 것을 통해서 말이죠.
그러면 기존의 증명된 것들은 더 이전에 것들을 통해서 증명되었음을 알 수 있습니다.
그렇게 계속 올라가다 보면 끝이 있을 것입니다. 그 끝, 증명할 수 없는 약속을 우리는 공리라고 합니다.
그리고 그것들을 바탕으로 명제를 풀어나가게 됩니다.
그 명제들 중 증명된 것들을 정리라고 합니다.
그럼 명제는 무엇일까요? 명제는 논리학적으로 뜻이 분명한 문장으로 참 또는 거짓임을 논리적 과정을 통해 구분할 수 있는 문장을 말합니다.
위에서 공리들이 여러 개 모인 집합을 공리계하고 하고 그 공리들을 전제로 시작해서 여러 방법을 통해 유도되는 명제를 정리라고 합니다. 그런데 이 약속들은 언제 처음 만들어지고 언제 처음 시작되었을까요?
공리(axiom)의 어원은 고대 그리스어 ἀξίωμα이며 ‘가치가 있다 간주되거나 그 자체로 명백하다’라는 의미를 가지고 있습니다. 이 단어 개념이 쓰인 현존하는 문서 중 가장 오래된 것은 기원전 300년 경에 쓰인 에우클레이데스의 원론 입니다. 그 책에
- 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다.
- 임의의 선분을 직선으로 연장할 수 있다.
- 한 점을 중심으로 임의의 반경의 원을 그릴 수 있다.
- 모든 직각은 서로 같다.
- 임의의 직선이 두 직선과 교차할 때, 교차되는 각의 내각의 합이 두 직각(180도)보다 작을 때, 두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차한다. (평행선의 공리, 제5공리)
라는 공리들이 나오게 됩니다.
그런데 이 약속들로 이루어진 세상들은 정말 완벽할까요? 이렇게 몇 개의 약속들로 이루어진 세상은 오랫동안 완벽하다고 믿어왔습니다. 그러나 1931년 쿠르트 괴델이 제창한 괴델의 불완전성 정리에 의해 ‘보통의 수학’(자연수론)의 형식화의 한계가 밝혀지며, 완전하고 모순이 없는 공리계로 형식화하는 것은 불가능함이 밝혀졌습니다. 그래서 수학은 완벽하다고 믿어왔던 많은 수학자들은 실망에 빠지게 되고 수학이 불완전한 학문으로 바뀌게 됩니다. 그 이후에는 처음의 공리들을 토대로 논리를 뻗어나가는 추상적인 수학이 되고 어떤 공리계 내에서 여태 증명된 것들이 공리를 위반하지 않으면 공리가 참일 가능성이 크지만 공리에 모순되는 증명이 안 생길 것이라 보장할 수 없는, 그런 상태가 된 것입니다.
여기까지 전체적으로 공리계에 대해 얘기하였습니다. 다음번에는 공리계 예시들을 가져와서 찾아뵙겠습니다.
출처 : 위키피디아